刘应梅，白晓民，易 俗，宋墩文
（中国电力科学研究院，北京 100085）
摘 要：作者对电力扰动信号的时—频局部特征进行了分析，针对信号压缩过程中的阈值选取问题提出了最小极大法。按照最小极大法选取阈值并压缩信号分解的各细节版本，信号的时—频局部特征不会丢失。对影响压缩效果的分解层数和频带重叠问题进行了研究，并提出了有效的解决策略。测试结果表明提出的压缩方法可以获得很好的压缩效果，在特征信息不丢失、基频分量不失真的情况下，压缩比仍比较高，是解决电力扰动信号压缩问题的一种有效方法。
关键词：多分辨分析；信号压缩；频带重叠；最小极大法；时—频局部特征；电力系统扰动
1 引言
电力系统发生故障或设备异常运行时，故障点附近将产生各种频率的暂态分量。小波变换特有的尺度伸缩功能使其具有很强的突变点检测能力，能有效检测到非平稳信号的瞬时成分，使其在设备状态监测和时变信号分析领域具有明显优势[1-3]。随着小波技术在电力系统中应用的发展，利用各种暂态故障信息实现设备保护、故障预警和故障原因分析变得日益重要。
为了能够采集到故障或异常发生时的扰动信号，信号采集装置必须有足够高的采样频率，结果在较短的时间内（例如几秒）采集到大量的数据。而且，有些现场采集的数据要送到远方的控制中心进行分析和处理。这样，就遇到电力扰动信号的传输和存储问题。在同样的通信容量或存储容量下，如果信号可以压缩后再传输或存储，就可以使被传输的数据量变得很小，即可以提高数据的传输能力。因而，在电力扰动信号分析过程中需要一种高效的信号压缩方法，在压缩过程中保持扰动信号的主要特征不丢失，以便进行扰动原因分析和扰动识别等，并使压缩后的数据量尽可能少。
本文首先对电力扰动信号的时—频局部特征进行分析，针对信号压缩过程中的阈值选取问题提出了最小极大法，随后对影响压缩效果的分解层数和频带重叠问题进行了研究；最后，采用提出的压缩方案对动模实验测得的4种扰动信号进行压缩，并对压缩结果进行分析。
2 多分辨分析及模极大值
设θ（t) 是一低通平滑函数[4]，且满足条件
则函数φ（t)满足小波函数的可容许性条件
则φa(t)表示函数φ(t)在尺度因子a 下的伸缩。
原始信号f(t) 在尺度a ，位置t 处的卷积型小波变换定义为
从式(5)可以看出，小波变换Waf(t) 就是信号f(t) 在尺度a 下被光滑函数θa(t)平滑后的一阶导数。以平滑函数的一阶导数为母小波作小波变换，则小波变换在各尺度下系数的模极大值对应于信号的突变点。
式(4)中，先将尺度参数a 按照二进的方式离散化，得到二进小波和二进小波变换，之后，再将参数b 按照二进整倍数的方式离散化，得到正交小波和正交小波变换。令连续小波的参数为
a=2-k，b=j*2-k,可以得到函数族
适当选择正交小波φ(t) ，可以使该函数族构成空间L2(R) 的标准正交基。正交多分辨分析利用两组滤波器系数g(n) 和h(n) ，将信号分解为光滑版本和细节版本。设a0(n) 为f(t) 的一个采样信号，通过高通滤波器g(n) 后得到其细节版本d1(n) ，通过低通滤波器h(n) 之后得到其光滑版本a1(n) 。a0(n) 分解为d1(n) 和a1(n) 的过程称为第一尺度分解，用如下公式表示
信号d1(n) 和a1(n) 的长度为信号a0(n) 长度的二分之一。按照同样的方式，可以对信号进行多层分解。
3 基于最小极大法的电力扰动信号压缩
3.1 电力扰动信号的时—频局部特征
本文将系统或设备故障和异常时采集的信号统称为电力扰动信号。电力扰动信号属于非平稳信号，其主要频率成分为基频，在局部位置出现多种高频成分。完全的时域分析或频域分析都无法提取信号的时—频局部特征，这些特征正好是非平稳信号最根本和最关键的部分。而小波变换特有的尺度伸缩功能使其具有很强的突变点检测能力，能够提取电力扰动信号中的时—频局部特征。
图1为动模实验测取的电压扰动信号，采样频率为5000Hz，总采样点数为3000。横坐标为时间，纵坐标为电压瞬时值。从图1可以看出系统发生了故障，但无法从该时域图得到更有价值的信息，包括故障发生的准确时刻和信号在不同时间的频率含量。
采用多分辨分析对图1所示的扰动信号进行5层分解，得到图2所示的结果。图2中，d1~d5分别为第1~5尺度上的细节版本，a5为第5尺度上的光滑版本。细节版本d1~d5上分别出现两个模极大值。由小波理论可知，这两个模极大值分别对应信号的两个突变点，根据这两个模极大值可以准确地计算故障发生的时刻和结束时刻。同时可以看出，不同细节对应的系数模极大值也不相同。它们的大小反映了各频率分量在信号中的重要程度。作为扰动信号的时—频局部特征，这些模极大值是故障原因分析、设备保护和电能质量评价的依据，在信号压缩过程中不应丢失。
3.2 问题的提出
小波变换用于信号压缩是小波应用的一个重要方面。变换、量化和熵编码是信号压缩的三个主要部分。原始信号经小波变换后分解为多个尺度上的小波系数。由于原始信号的能量主要集中在少数系数上，直接的系数量化方法就是将某一阈值以下的系数略去，只保留那些能量较大的小波系数，从而实现信号的压缩。显然，在上述信号压缩过程中阈值的选取非常关键：阈值选取过大，压缩过程中将丢失特征信息；阈值选取过小，则压缩后保留的数据量仍很大。
统一阈值法对所有的小波系数采用相同的阈值，并按照如下公式设置阈值
式中 N 为信号的长度，即采样点数。对图1所示的信号进行压缩时，由式(9)得到的阈值为4.572，重构信号的小波变换如图3所示。比较图2和图3可知：重构信号的细节d1的两个模极大值全部丢失；细节d2的第二个模极大值丢失。显然，这种阈值选取方法导致了某些细节版本中的重要模极大值丢失。
文献[5]采用了另一种阈值选取方法。该方法可以使重构信号和原始信号的总体误差控制在设定的误差限内，但也可能导致某些细节上的模极大值丢失，尤其是细节含有多个模极大值，并且各模极大值间相差较大的情况。有鉴于此，本文提出了最小极大法。
3.3 最小极大法
采用多分辨分析对电力扰动信号进行J 层分解，得到J 个细节版本和一个光滑版本，设任一细节为
式中 m 为该细节的长度。随后，提取细节的模极
大值，每个细节可能有多个模极大值，即Xmax=
对其它细节也进行同样的操作，即可得到所有细节对应的阈值{T1,T2,...TJ} 。这种阈值设置方法即为最小极大法，该方法确保扰动信号的时—频局部特征不致丢失。
通常采用压缩比和压缩后信号的恢复质量来衡量信号的压缩效果。压缩比定义为
式中 N 为原信号的数据量；N 为信号压缩后的数据量。压缩比越高，存储的数据量越少，信号存储或传输的效率越高，但随着压缩比的增大，信号恢复质量变差，因而需要在压缩比和信号恢复质量之间取得平衡以获得最佳的压缩效果。而最小极大法在保证时频局部特征不丢失的前提下，可以获得较高的压缩比。
3.4 分解层数
前面已经提到，电力扰动信号的主要频率分量为基频分量，高频成分仅在局部位置出现，因而能量主要集中在基频部分。在压缩过程中为了使基频分量不失真和能量损失尽可能小，本文在对电力扰动信号进行压缩时，不压缩以基频分量为主频的光滑版本，而对主频高于基频的细节版本进行压缩。小波分解层数J 按照如下公式选取： 式中 fs 为采样频率，ff 为信号基频，int 表示取整数。按照式(13)选择分解层数可以使信号的基频分量出现在分解的最低频段。由计算可知，扰动信号的采样频率为5000Hz时，小波分解层数为5；扰动信号的采样频率为2500Hz时，小波分解层数为4。这样，小波分解层数仅与信号的采样频率相关。
3.5 小波函数
小波函数对扰动信号的压缩效果也有重要影响。由小波变换用于数据压缩的原理可知，要获得最佳的压缩效果从某种意义来说就是使信号的某一频率分量完全集中在小波变换的一个尺度上，不要扩散到其他尺度，使其他尺度上的小波系数尽可能取零值。实际上，多种正交或双正交小波会产生不同程度的频带重叠现象，即同一频率成分同时出现在多个尺度上，这些尺度上波形的幅值不完全相同，但波形都比较相似。
为了说明该问题，采用Daubechies 8和Dmeyer小波对图1所示信号进行分解，分解层数为5，得到细节版本d1~d5和光滑版本a5，其中的d4 、d5和 a5如图4和图5所示。图4中，d5和a5出现了典型的频带混叠现象，即基频分量同时出现在两个尺度上，对细节d5压缩时有一部分基频分量将被略去，使压缩效果变差；而图5中基频分量只出现在a5上，细节d4、d5除了个别局部极大值外，其它数值都接近为零。显然，后一种分解的压缩效果比较好。
采用几种常用的正交小波和双正交小波对图1所示的信号进行同样的分解，细节d5在扰动发生前的波形幅值如表1所示。细节d5的波形幅值越大，说明频带重叠现象越严重。从表1可以看出，采用Dmeyer小波时，细节d5在扰动发生前的幅值为零，即不出现频带重叠现象。
Daubechies 小波、Coiflets小波和 Symlets小波为三种正交的时域紧支小波，时域紧支的特点使其具有良好的计算性，但Daubechies 小波不具有对称性。与之相比，Coiflets小波和 Symlets小波的对称性有明显改善；BiorSplines是一种双正交小波，具有良好的对称性；而Meyer小波是一种频域紧支小波，有良好的分频特性。基于FIR的Dmeyer小波是Meyer小波的有效近似，可以看作是离散化的Meyer小波。它既保持了Meyer小波良好的分频特性，又可以提高数值计算的速度。显然，Dmeyer小波比较适合用于扰动信号压缩。表1中有些小波名称后加一数字，用以表明相应小波系列中不同的成员。
4 测试
采用本文提出的最小极大方法对动模实验测取的4种电力扰动信号进行压缩。这4种扰动信号为线路发生4种短路故障时，在线路一端测取的电压信号。4种信号的采样频率为5000Hz，采样点数为3000。根据上节分析，确定小波分解层数为5，小波函数为Dmeyer小波。
单相短路接地、BC两相短路、BC两相短路接地和三相短路4种情况下的B相电压原始扰动信号和重构信号分别如图6、图7、图8和图9所示。每个图中的(a)为原始信号；(b)为重构信号；(c)~(g)为原始信号的细节版本d1~d5；(h)~(1)为重构信号的细节版本d1~d5。为了便于观察，对各细节版本进行了处理，各细节版本的小波系数取平方值。
对比压缩前后信号的分解细节可知，4种情况下信号的局部模极大值没有丢失。而且原始信号和重构信号的标准均方差（其定义见参考文献[6]）保持在10-3 级别上，这说明重构信号可以很好地恢复原信号。4种情况下的信号压缩比分别为15.037、17.182、14.749和15.923。
对4种情况下A、C两相电压信号进行压缩，得到类似的压缩效果，信号压缩比如表2所示。从总的压缩效果来看，本文提出的方法是一种有效的电力扰动信号压缩方法。
5 结论
（1）应用小波变换对扰动信号进行压缩时，选择合适的分解层数和小波函数，可以改善扰动信号的压缩效果。
（2）最小极大法以各细节的所有模极大值中最小的一个作为阈值，不同的细节采用不同的阈值，具有一定的自适应性。
（3）本文提出的压缩方法不仅使信号的时—频局部特征不丢失、基频分量不失真，且压缩比高于14.285，是一种合理、有效的电力扰动信号压缩方法。
参考文献
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[2] Santoso S，Hofmann P．Power quality assessment via wavelet transform analysis[J]．IEEE Transactions on Power Delivery，1996，11(2)：924-930．
[3] Robertson D C，Camps O I．Wavelets and electromagnetic power system transients[J]．IEEE Transactions on Power Delivery，1996，11(2)：1050-1058．
[4] 程正兴．小波分析算法和应用[M]．西安：西安交通大学出版社，1998．
[5] 任震，何建军（Ren Zhen，He Jianjun），基于小波包算法的电机故障信号的压缩和重构（Compression and reconstruction for faults signals of electric machines based on wavelet packets）．中国电机工程学报（Proceedings of the CSEE），2001，21(1)：25-29．
[6] Santoso S．Power quality disturbance data compression using wavelet transform method via wavelet[J]．IEEE Transactions on Power Delivery，1997，12(3)：1250-1257．
摘自 电网技术
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