丁鹏，马以武，李民强
（中国科学院合肥智能机械研究所，传感器技术国家重点实验室，合肥 230031）
摘 要：介绍钌基厚膜电阻的三种传导模型。三种模型都可以得到较满意的R－V曲线，不足处是链模型得出电阻率和导电相粒子形状及尺寸的关系和实验事实不符；有效介质模型不能反映厚膜电阻形成过程中众多因素的影响；渗透模型很多参数的获得有赖经验公式。渗透模型能反映烧结过程中更多因素的影响，并可解释方阻与导电相粒度及峰值温度的变化关系。
关键词：厚膜电阻；链模型；渗透模型；有效介质模型
厚膜压力传感器是一种新型电阻应变式压力传感器，具有蠕变小、耐腐蚀、工作温度范围宽、性价比高等一系列优点。在工业自动化过程控制、机电一体化有着广阔的市场前景［1］。
厚膜应变电阻是其核心器件。目前厚膜压力传感器的应变电阻主要采用钌基厚膜电阻。钌基厚膜电阻具有精度高、稳定性好、耐高温、工艺重复性好等特点，在厚膜压力传感器的研究和开发中得到广泛应用［2］。
钌基厚膜电阻的传导模型是将厚膜电阻作为一个体系进行研究，得到的阻值（R）随导电相含量（V）变化的数学模型。电阻值作为厚膜电阻最重要的电特征量，其与导电相含量间的关系一直就是研究的热点。
由于厚膜电阻为多相体，相结构复杂，且粒子数巨大。一般对传导模型的研究都不涉及微观粒子间的导电机理，而只是在宏观上对厚膜电阻的体系进行研究。认为钌基厚膜应变电阻的电行为在统计上符合一定的规律或具有一定的特征，并通过对这些规律或特征的研究建立传导模型。国外在上个世纪60年代就已开始研究，先后产生过多种模型，这些模型基本可分为三类：链模型、渗透模型、有效介质模型；国内对厚膜电阻的研究主要集中在导电机理方面，到目前为止尚未见到传导模型方面的文献报道。本文对三类模型分别进行介绍。
1 链模型（Chain Model）
链模型认为厚膜电阻的传导过程是通过导电链进行的。导电链的形成和分布可以用概率进行解 释。其中较有代表性的是Kusy提出的链模型［3］。
Kusy认为，厚膜电阻中存在大量链状的结构单元，见图1。厚膜体系的导电可简化为结构单元内部的导电概率问题。图1所示的结构单元必须满足以下三个条件才可以导电：
① 随机选定的点是导电相；
② 单元内有足够多的导电粒子，并连接成链；
③ 导电链必须连接到结构单元相对的两端。
其中，条件1出现的概率P1即为导电相的含量V；
条件2出现的概率P2与导电粒子的形状有关，计算如下：
假设导电相粒子的粒径在x，y，z三个方向的分量分别为x，kx，mx（k，m是常数），则等效粒径
将D2，l2代入式（2）得到n的表达式
给出的。其中L满足
其中ρc是导电相的电阻率。
将得到的P1，P2，P3代入（9），即可得到厚膜电阻的电阻率。
Kusy分别选择（k，m）和ρc对烧结峰值温度分别为875℃和800℃的两个钌酸铋体系的R－V曲线进行拟合，发现在V＞0．07时，这两个体系的R－V曲线计算值和实际值都很接近。
在链模型中（k，m）是作为一个重要的参变量给出的，（k，m）对R－V曲线的计算值有很大影响，Kusy认为可以通过调整（k，m）的值使得计算值和实际值更加符合。但是（k，m）的物理意义是导电相粒子形状对电阻率的影响，而实际中导电相粒子形状对电阻率的影响很小，以至于我们很少考虑形状因素；另外，由式（4）和式（5）也可以推出，电阻率与导电相粒子的大小无关，这也和实验事实相矛盾，我们的实验结果是电阻随导电相粒径的增大而增大［5］。
2 渗透模型（Percolation Model）
渗透理论［6］是用来描述非均相介质或多孔介质中的传递特性，将该理论应用于厚膜电阻就产生了其中较有代表性的是1991年Robert．W．Vest提出的渗透模型［7］。
Robert．W．Vest认为在RuO2厚膜电阻中，RuO2是以环状集块的形式存在，RuO2环连接成链，对应不同组份存在多种微结构，并给出了导电相含量（V）在0．032～0．24范围内的方阻与粒子尺寸和组份的关系。
Vest认为实测的电阻率ρm可通过对理想模型的修正得到，如下式。
ρch是简化的理想模型的电阻率；模型的结构单元见图2；G为几何因子，引入G是考虑到电阻沿电流传导方向的截面积包括绝缘玻璃和导电链；P1表示结构单元两个相对的面连续的概率；P2表示某一链段导电的概率；P3是RuO2环不被玻璃包围，成为链段一部分的概率。
为了确定各参数G、P1、P2和P3先介绍结构单元的的一些基本数据关系。
vc是集块中导电相的体积，va是集块的体积，vpa是集块中孔隙的体积，Pa是集块的孔隙率，这里取Pa＝0．37，vch是烧结中形成的“预链”（prechain）的体积，vpch是“预链”中孔隙的体积，Pch是“预链”中的孔隙率，这里取0．4。Pa，Pch是根据单粒度的稠密随机压缩理论得到的［8］。
结合（17）、（18），得到Vc与G的关系
t，Pc及A均为常数，对于图2所示的简单立方格，有t＝1．6，Pc＝0．25，A可通过当Vc＝0．24时，令P1＝1，得出A＝2．0。P是导电相的有效体积比例，
可通过下式求得
va是集块的体积，vg是玻璃的体积；Ra，Rg分别为导电相和玻璃的半径，分别取Ra＝0．11μm，Rg＝2μm。
将各常数和式（22）代入式（21）得到P1的表达式
对于P3，Vest认为RuO2集块连接成为链段的过程主要发生在玻璃熔化烧结的阶段，取决于集块离开链段的速度和邻近的集块连接成链段的速度的对比，P3可由导电相的比例及在玻璃中的溶解性决定，对于0．032＜Vc＜0．24的情况，P3＝1。
至此，可得出渗透模型的电阻率表达式
Vest用式（27）对两种RuO2体系的R－V曲线进行了拟合。这两种体系的差别仅在于峰值温度时导电相在玻璃相中溶解度的不同。溶解度较小的体系，无论导电相含量高低，其拟合性都很好，而溶解度较大的体系，只有当导电相含量较高时，计算值与实测值才很接近。
此外，用该模型也可定性地解释相关文献中的实验结果：从式（27）可以看出ρm∝Ra，这与文献［5］观察到的方阻随导电相的粒度增大而增大相符；式（27）中的P3主要反映峰值温度时烧结过程对方阻的影响，是集块离开链段和集块连接成链段这两个互逆的过程相互作用的结果，可以解释方阻与峰值温度的关系曲线存在最小值的实验事实［2］。
渗透模型较好的表达了导电相和玻璃相的微粒间空隙的影响，体现了导电相和玻璃相的比例、粒径，以及导电相在玻璃相中的溶解性对方阻的影响。不足之处是推导过程中很多参变量的获得有赖于经验公式。
3 有效介质模型（Effective MediumModel）
有效介质理论［9］是在导通性相同的情况下，用拓扑性质相同的均匀网络近似替代一个非均匀多孔网络的理论。该理论应用于厚膜体系就产生了有效介质模型。该模型认为厚膜体系的电特性由各成分 的单独的电特性综合而成，其有效电导gm满足
其中g是对应不同接触情况的电导，f（g）是该接触情况发生的概率，z是导电相的配位数。Smith D．p．h．and Anderson J．C．［10］以及Yu－Hung［11］都提出过能够较好拟合R－V曲线的模型，这里简介前者。
S和A认为导电粒子中间分布着玻璃介质层，接触电导g存在如下关系
其中d是特征隧道距离（characteristic tunneling dis－tance）；r是玻璃层厚度，在厚膜体系中可视为均匀分布，所以ln g∝－r，即f（ln g）满足均匀分布。G的概率分布如图3，其中β，G是与分布宽度有关的因 子。将f（g）代入式（29）得到
其中，z是导电相粒子的配位数，针对厚膜体系取6是合理的；x＝2lnG／3p，p是导电带出现的概率。对于玻璃相和导电相粒径相同的系统，p是导电相的含量，对于粒径不同系统，有如下关系：
rc，rg分别是导电相和玻璃相的粒径。
所以对于实际厚膜体系有
gf＝gm｛p’＋（1－p’）rc／rg｝（32）
对于厚膜体系rc／rg在1：7．5－1：15之间，G取106。
β取值的确定通过如下方式：导电相的电阻率ρ0可视为导电相含量为1（p＝1）时的厚膜的电阻率，即
从式（33）中可求出β。
S和A通过调整G，ρ0，rc／rg对多个厚膜体系［12～15］的R－V曲线进行拟合，都得到了满意的结果，还用该模型解释了TCR曲线上存在的最小值。
有效介质模型考虑了导电相比例、粒径比对电阻的影响，在解释TCR时也反映出激活能的影响，但厚膜形成过程的众多影响因素，如峰值烧结温度、保温时间等在模型中都未能反映，是该模型的欠缺之处。
3 结束语
本文介绍的三种传导模型分别从不同角度、运用不同的理论研究钌基厚膜电阻的导电特性，各有长处和不足。相比之下渗透模型考虑的影响因素更全面，可较好地反映厚膜电阻烧结过程中工艺参数对阻值的影响。模型表达式中各参变量的物理意义清楚，对研究厚膜电阻的指导意义较大。
参考文献
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摘自《电子器件》
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