潘卫清，何对燕，李志宏，董 勤
(武汉大学 电子信息学院，湖北 武汉430079)
摘 要：为了在既定尺寸下减小斜坡波导和弯曲波导的功耗,设计了4种过渡 波导形状函数，用有限差分光束传播法(FD-BPM)进行了模拟分析，发现过渡波导形状的选 取与坡度和曲折角存在条件关系，并给出了条件表达式和详细说明.
关键词： 光波导；有限差分光束传播法；集成光学
随着光电子产业的迅速发展，越来越多的有源及无源光子、光电子器件趋于集成化，这些器 件往往有复杂的光波导结构，很难有具体的解析解.因而，用快速精确的数值模拟来作为器 件的理论依据就愈加显得重要.1989年KochTB[1]等首先提出了基于Helmholtz方程 的有限差分解法，该方法快速简单而且精确，是目前较为优越的光波导器件分析算法.
斜坡波导和弯曲波导是集成光电子器件中两种重要的过渡器件单元.斜坡波导用于连接两个 中心轴重合而宽度不同的直波导，相关文献极少，是本文讨论的重点；弯曲波导用于连接两 个宽度相同且中心轴平行的直波导.以前计算弯曲波导损耗的方法有Macatili和Miller发展 的“速率法”[2]，也有文献用FFT-BPM法对它进行了计算[3].由于这两 种波导都是动态单元，对于它们的分析不可能如同简单的平面波导一样进行本征分析，光 在其中传播是动态的而非固定本征的，所以在本文中将使用有限差分光束传播法(FD-BPM) [4]来进行分析. 通过分析可以看出该方法用于分析动态波导的优越性，其结果对于实际工程中进行相关波导 的优化设计具有重要的参考价值.
1 FD-BPM的原理
φ(x,z)exp(-iwt)形式下的单色波，对二维波导，可写成标量波方程 z)φ＝0.其中，z为波导传播方向；ω为光的角频率；n(x,z)是介质折射率，令φ(x ,z)=u(x,z)exp(ikrz),kr为任意常数，要求它的选择使u(x,z)是z的缓变函数，把 此式代入波动方程，忽略φ2
依赖于空间坐标的波数，离散u(x,z)(记为 u(xs,zr))横向节点为xs=a+s× Δx；s=0,…,N；Δx=(b-a)/N；横向窗口范围为 (a,b);Δx为节距；N+1为节点总数；纵向(波导传播方向)节点位于zr=r×Δz；r =0,1,…；Δz为纵向步长.
在众多的差分格式中，选择绝对稳定的CrankNicholson格式[5]的修改格式，关 于半步长点(s,r+1/2)作差分近似，因为公式完全等同于文献，这里不再列出.对于 边界条件的选取，为了防止在计算窗口的边界引起反射，我们使用TBC[6]边界条件 .
2 过渡波导的BPM法分析
2.1 斜坡波导
斜坡波导是连接两不同宽度直波导的过渡单元，为了在既定尺寸下减小其功耗，我们设计了 几种有可能减小功耗的波导形状，如图1所示.通过比较分析，得出了最佳的斜坡波导及其使 用条件.
在图1中，Wi为斜坡波导入口端直波导宽度;Wo为出口端直波导宽度;L是 斜坡波导长度;h=(Wi、Wo)/2是斜坡高度;R是圆弧曲率半径.经分析可知，一旦 确定图1(a)中的Wi、Wo和L,则图1(c)、(d)的形状就可以唯一确定，而 图1(b)未定，它可以用无数个不同曲率半径的圆弧进行连接，这些圆弧分别对应有不同的功 耗，因此我们先进行单圆弧斜坡波导的功耗分析.我们规定凸圆弧的曲率半径＞0，凹圆弧的 曲率半径＜0，斜线的曲率半径为无穷大.
在FD-BPM运算中将采用的参数：计算窗口300μm，差分网格数1000，直波导中计算步 长5μm，过渡波导中的步长0.5μm.对于光波导的参数，为了加大斜坡波导坡度的变 化范围，我们采用大宽度的单模波导，波导区的折射率为1.01，光限制层的折射率为1，真 空中波长6.28μm.斜坡形状参数，入口端宽度Wi＝20μm,出口端宽度Wo 不定，用来改变斜坡的坡度α，斜坡长度L=0.1mm.由于斜坡波导的功耗与坡度直接 有关，所以，我们计算了6个不同出口端宽度下的曲率半径与功耗的关系图，结果如图2(a )～(f)所示.各图所对应的出口端宽度分别为6、8、10、12、15和18μm,由于当曲率 半径R＞20mm的功耗变化很小，基本接近于斜线连接的情况，所以R=20mm处用 斜线连接的功耗来代替.
由图可见，功耗随出口端宽度的增大而减小，负曲率半径对应的功耗都比较大.正曲率半径 部分的曲线都是先快速递减然后递增，因此存在一个最小功耗的曲率半径，我们称该半径为 最佳曲率半径.当圆弧半径小于最佳曲率半径时，功耗会陡增，反之，功耗随曲率半径的增 加而缓慢增长；当半径超过20 mm后其功耗基本不变，与斜线连接对应的功耗相等.所以 在使用单圆弧连接时，其曲率半径应该等于或略大于最佳曲率半径，一定不能取的过小.比 较图2(a)～(c)和(d)～(f),我们还可以看出随着出口端宽度的增加，其递增曲线变的平缓， 说明大坡度的斜坡采取圆弧过渡效果比小坡度的更明显，如表1所示.由表1我们可以发现， 当Wo＞15即坡度角α＜arctan(0.025)时，用圆弧优化的效果不明显， 可以用斜线直接连接.
下面我们分析另外3种形状的斜坡波导：双圆弧R=(L2/4h+h/4)、正弦x(z)=hz/L-(h/2 π)sin(2πz/L)和余弦x(z)=h［1-cos(πz/L)］/2.为了跟单圆弧波导有个 比较，我们加进了斜线连接的情况，计算结果如图3(a)～(d)所示.当斜坡长度L和出口 端宽度Wo都比较大即坡度很小的情况下，采用双圆弧连接功耗最小，正弦曲线不能达 到减小功耗的效果.从图3中我们还发现，双圆弧功耗曲线与斜线功耗曲线存在一交点，该点 所对应的出口端宽度我们称为临界宽度，其坡度为临界坡度.当出口端宽度大于临界宽度时 ，可以采用双圆弧斜坡来减小功耗.通过大量计算我们发现，使用双圆弧的条件为Wo ＞20-0.006 L,其结果验证如表2所示.从表2中我们可以看到由20-0.006L计算出来的值都略 大于或接近临界出口宽度.因此当斜坡出口宽度Wo＞20-0.006 L时采用双圆弧连接的 功耗最小.当Wo＜20-0.006 L时应采用单凸圆弧连接，其曲率半径应等于或略大于最 佳曲率半径.
2.2 弯曲波导
连接两平行直波导的弯曲波导如图4所示.对于一定的h值，要求尽可能缩短L,并且连接损 耗越小越好.下面我们同样采用斜线、正弦、余弦和双圆弧4种弯曲波导的线型来 进行比较分析.取波导参 数：波导宽度方向x的折射率分布n(x)=2.1512+0.0035cosh- 2(2x/W)，波导中心为x零点，波导宽度W=6μm，真空光波长λ=1.3μm，可 以验证，该波导为单模波导.FD-BPM计算参数不变.计算结果如图5(a)和(b)所示.从图中 我们可以看到当曲折角h/L＜1/40时，采用正弦曲线功耗最小，当h/L＞40时，用余弦曲 线连接功耗最小.
3 总结
我们用FD-BPM模拟分析了斜坡波导和弯曲波导的传输过程.其中我们设计了4种线型函 数，作了功耗比较分析,发现过渡波导形状的选取与坡度和曲折角有很大关系，并给出了表 达式.对于斜坡波导，在短距离和大坡度条件下应该考虑选用正曲率半径的单圆弧连接，但 半径不能太小；大斜坡长度和小坡度条件下应该用双圆弧过渡.弯曲波导的形状函数也应该 根据曲折角来选取优化.
参考文献
［1］Koch T B,Davies J B,Wichkramasinghe D.Finite element/finite diffe rence propagation algorithm for integrated optical device [J]. Electronics Let ters,1989,25(6):414-516.
［2］Marcatili E A,Miller S E.Improved relations decribing directional contr ol in eletrom genetic wave guidance [J]. Bellsyst.Tech.J.,1969,48(9):2161-21 88.
［3］严朝军,许政权,陈益新.确定一维单模波导特性的差分波束传输法 [J].上海交通 大学学报,1996,31(7):73-76.
［4］陆金甫,顾丽珍,陈景良.偏微分方程差分解法 [M].北京:高等教育出版社,1988.
［5］Hadley G R. Transparent boundary condition for beam propagation [J]. Op t. Lett.,1991,16:624-626.
摘自 光通信研究
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